Das C₆₀-Buckminsterfulleren ist ein Beispiel für dieses allgemein gültige Bauprinzip. Seine Struktur entspricht der eines abgestumpften Ikosaeders, eines hochsymmetrischen Polyeders (Bild 1). Im Folgenden werden die mathematischen Sachverhalte erläutert, die für die Beschreibung der Fullerenstrukturen wichtig sind.

Bild 1: Struktur des Buckminsterfullerens

1. Polyeder
Ein Polyeder ist ein dreidimensionaler Körper, der durch eine endliche Zahl ebener Flächen (Polygone) begrenzt ist. Diese sind über Kanten und Ecken miteinander verknüft. Je zwei Flächen besitzen eine gemeinsame Kante. Die Schnittpunkte der Kanten von drei oder mehr Polygonen bilden die Ecken des Polyeders. In ihnen berühren sich immer drei oder mehr Polyederflächen. Im folgenden Kapitel werden nur konvexe Polyeder betrachtet, da auch im Mathematikunterricht der Schule diese in der Regel ausschließlich behandelt werden.

Ein Polyeders heißt "konvex", wenn sämtliche Innenwinkel zwischen benachbarten Flächen (Flächenwinkel) kleiner als 180° sind. Eine andere Definition des Begriffes "konvex" ergibt sich aus der Betrachtung der Ecken. Gilt für sämtliche Ecken eines Polyeders, dass die Summe der Flächenwinkel der Flächen, die diese Ecken bilden, kleiner als 360° ist, so bezeichnet man ihn als konvex.

Die Beziehung zwischen der Zahl der Ecken (E), Kanten (K) und Flächen (F) eines Polyeders wurde von dem schweizer Mathematiker Leonhard Euler in seinem berühmten Polyedersatz formuliert und bewiesen:

Die folgende Tabelle zeigt die Anwendung dieser Regel auf einige Polyeder, die zum Teil im Geometrieunterricht der Mittelstufe behandelt werden.

2. Reguläre und halbreguläre Polyeder
Unter den Polyedern besitzen die regulären und halbregulären Polyeder eine Sonderstellung.

Reguläre Polyeder (Platonische Körper)
Ein Polyeder wird als regulär bezeichnet, wenn alle seine Flächen regulär und identisch sind. Daraus folgt, dass auch alle Kanten und Ecken gleich sind. Eine Fläche wiederum ist regulär, wenn alle ihre Kanten gleich lang und alle Innenwinkel gleich groß sind. Im zweidimensionalen Raum gibt es unendlich viele reguläre Vielecke (Flächen). Beispiele sind das gleichseitige Dreieck und das Quadrat. Dagegen existieren im dreidimensionalen Raum nur genau fünf reguläre Polyeder: Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder (Bild 2). Diese Tatsache wurde bereits von Euklid im letzten seiner dreizehn "Bücher der Elemente" bewiesen. Man bezeichnet die fünf regulären Polyeder auch als "platonische Körper".

Bild 2: Die fünf regulären Polyeder (Platonische Körper)

Sie spielen auch in der Philosophie eine wichtige Rolle (siehe Webseite "Fächerübergreifendes Hintergrundwissen zu den Fullerenen").

Die fünf regulären Polyeder bilden die Grundstrukturen des kubischen Systems. Durch jeden dieser Polyeder kann man ein rechtwinkliges Achsensystem mit gleichen Abschnitten auf den X-, Y- und Z-Achsen zeichnen.

Halbreguläre Polyeder (Archimedische Körper)
Eine weitere Gruppe konvexer Polyeder sind die halbregulären Polyeder. Zu dieser Gruppe gehören die Prismen, die Antiprismen und die vierzehn archimedischen Körper (Bild 3). In einem halbregulären Polyeder sind ebenfalls alle Kanten und Ecken gleich. Im Unterschied zu den regulären Polyedern können aber mehrere verschiedene reguläre Flächen auftreten. Die archimedischen Körper besitzen die gleichen Symmetrieelemente wie die platonischen Körper. Die Bezeichnung "Archimedische Körper" weist auf Archimedes von Syrakus hin, der sie zum ersten Mal alle (bis auf den 14.) aufgezählt hat. Sein Werk über diese Polyeder ist allerdings verloren gegangen (wahrscheinlich beim Brand der Bibliothek in Alexandria).

Bild 3: Die vierzehn archimedischen Körper

Abgestumpfte Polyeder
Bestimmte archimedische Körper kann man aus den platonischen Körpern durch Abschneiden ("Abstumpfen") der Ecken erzeugen. Auf diese Weise gelangt man z. B. vom Ikosaeder zu einem abgestumpften Ikosaeder, der Struktur des C₆₀-Buckminsterfullerens (Bild 4). Dieses Abstumpfen kann man auch sehr anschaulich anhand eines Modells erläutern.

Bild 4: Vom Ikosaeder zum abgestumpften Ikosaeder (Buckminsterfulleren)

Unter allen archimedischen Körpern ist das abgestumpfte Ikosaeder derjenige, der in seiner Form der Kugel am nächsten kommt. Dies wird deutlich, wenn man das Verhältnis zwischen dem Oberflächeninhalt eines archimedischen Körpers und dem Oberflächeninhalt der kleinsten ihn umfassenden Kugel bildet. Dieser Quotient liegt von allem archimedischen Körpern beim abgestumpften Ikosaeder am nächsten bei 1. Zum selben Resultat gelangt man, wenn man statt der Oberflächeninhalte die Volumina betrachtet. Interessanterweise kann dieser Wert noch weiter optimiert werden, wenn im abgestumpften Ikosaeder die Kanten zwischen den Sechsecken etwas verkürzt und die Kanten zwischen den Fünf - und Sechsecken etwas verlängert werden. Genau dies ist beim C₆₀ der Fall. Der C-C - Abstand in einer 6-6 - Bindung beträgt 138 pm, der in einer 5-6 - Bindung 145 pm.

Duale Körper
Bei der Betrachtung von Polyedern spielt noch der Begriff des "dualen Körpers" eine wichtige Rolle. Zwei Körper sind zueinander dual, wenn jede Fläche des einen Körpers einer Ecke des anderen entspricht. Für duale Körper gilt daher: Die Zahl der Kanten ist identisch; die Zahl der Ecken des einen Körpers entspricht der Zahl der Flächen des anderen Körpers. Beispiele für duale Körper sind Würfel und Oktaeder (Bild 5) sowie Dodekaeder und Ikosaeder. Das Tetraeder ist zu sich selbst dual (vgl. auch Tabelle 1). Das Polyeder und sein dualer Körper besitzen beide die gleichen Symmetrie-Eigenschaften.
Um zu einem gegebenen Polyeder den dualen Körper zu erzeugen, verfährt man folgendermaßen (vgl. Bild 5):
Man wählt Punkte, die senkrecht über den Flächenmittelpunkten des Ursprungspolyeders liegen. Dies sind die Eckpunkte des dualen Polyeders, die nun miteinander verbunden werden. Ihr Abstand von den Flächenmittelpunkten ergibt sich aus der Tatsache, dass die Kanten des neuen Körpers die Kanten des alten Körpers schneiden.

Bild 5: Das Prinzip der Erzeugung eines dualen Körpers am Beispiel des Oktaeders

3. Das Fullerenprinzip
Merkwürdigerweise besteht die Oberfläche des abgestumpften Ikosaeders, der Grundstruktur des C₆₀ aus 12 Fünfecksflächen und 20 Sechsecksflächen. Dahinter steht ein wichtiges Prinzip kubischer Systeme, das man neuerdings gern "Fullerenprinzip" nennt. Allein aus Sechsecken kann man keine geschlossene Sphäre konstruieren. Diese Tatsache kann mit Hilfe des Polyedersatzes von Euler bewiesen werden. Lediglich Ebenen oder Röhren lassen sich aus Sechsecken herstellen. Hierfür gibt es zahlreiche Beispiele in der Umwelt (z. B. Bienenwaben).

Zwischen der Zahl der Sechsecke (m) und der Eckenzahl (E) eines solchen Polyeders existiert eine ebenfalls von Euler aufgestellte Beziehung. Sie beschreibt die Bedingung für die Bildung geschlossener, kugeliger, kubischer Systeme aus 12 Fünfecks- und einer belibeigen Zahl (m) Sechsecksflächen:

Für das Dodekaeder mit 20 Ecken (E = 20) ergibt sich m = 0. Für C₆₀ mit 60 Ecken (E = 60) erhält man m = 20. Für C₇₀ mit 70 Ecken (E = 70) folgt m = 25.
Auf diese Weise kann man z. B. für jedes Fulleren die Zahl der Sechsecksflächen in der Struktur bestimmen. Aus der obigen Beziehung folgt auch, dass in Polyedern dieser Art die Zahl der Ecken immer gerade ist. Die Fullerene besitzen somit immer eine gerade Zahl an Kohlenstoffatomen.
Die Bedeutung der Fünfecke für die räumliche Struktur eines Netzes aus regelmäßigen Sechsecken können die Schüler mit Hilfe des Modells in Bild 6 beim Basteln selbst erfahren (Arbeitsanleitung siehe Webseite ("Papiermodelle der Fullerene").

Bild 6: Modell zur Demonstration der Bedeutung von Fünfecken in Netzen von regulären Sechsecken

Wie groß das Netzwerk aus Sechsecken auch ist, immer bedarf es Fünfecksflächen, damit es eine sphärische Gestalt annehmen kann.
Beim Bauprinzip der Fullerene reicht die einfache geometrische Betrachtung nicht aus: Denn die Eigenschaften der chemischen Bindungen, an denen Kohlenstoffatome beteiligt sind, setzen hier Grenzen. Die Kohlenstoffatome der Fullerene sind sp²-hybridisiert, bilden also trigonal-planare Systeme, die bei kugeliger Anordnung zwangsläufig hochgespannt sind. Je kleiner das Molekül, desto größer die Spannung. Deshalb sind Fullerene mit weniger als 60 Kohlenstoffatomen sehr instabil. Dieser Effekt wird noch verstärkt, da bei den "kleinen" Fullerenen Fünfecksflächen in ihrer Struktur aneinandergrenzen. Ungesättigte Verbindungen mit direkt benachbarten Fünfecken ohne Substituenten neigen zur Instabilität, da aufgrund der kleinen Bindungswinkel starke Spannungen innerhalb des Moleküls auftreten. Das C₆₀-Buckminsterfulleren ist die kleinste Verbindung dieser Art, bei der die Fünfecke nicht benachbart sind, und ist damit der kleinste stabile Vertreter dieser neuen Verbindungsklasse.

4. Zusammenfassung
Die Einordnung des Buckminster-Fullerens C₆₀ in die kubischen Strukturen zeigt das folgende Bild. Hierbei wird auch an Virenstrukturen erinnert.

Bild 7: Buckminsterfulleren und abgeleitete kubische Strukturen

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