Wie vergrößert sich die Oberfläche eines Würfels, wenn man ihn in
immer kleinere Würfel zerteilt?
Gegeben sei ein Würfel mit der Kantenlänge 1 cm. Er hat wie jeder Würfel 6 Flächen.
F0 = 6 Seiten · (1 Würfel) · (Kantenlänge 1)2 cm2 = 6 cm2
Pro Teilung entstehen aus jedem Würfel 8 neue. Aus dem Ursprungswürfel werden deshalb durch Teilung 8 Würfel mit der Kantenlänge ½ cm.
F1 = 6 · 8 · (½)2 cm2 = 6 · (8) · (¼) cm2 = 6 · 2 cm2
Diese werden wieder geteilt in 8 · 8 = 64 Würfel mit der Kantenlänge ¼ cm.
F2 = 6 · (8 · 8) · (¼)2 cm2 = 6 · (8 · 8) · (1/16) cm2 = 6 · 4 cm2
F3 = 6 · (8 · 8 · 8) · (1/8)2 cm2 = 6 · (8 · 8 · 8) · (1/64) cm2 = 6 · 8 cm2
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Bei n Teilungen erhält man 8n Würfel mit einer Kantenlänge von (½)n cm.
Deren Oberfläche ist dann
Fn = 6 · 2n cm2
Für eine beliebige Würfelkantenlänge a gilt:
Fn = 6 · 2n · a2 cm2
Die Würfeloberfläche verdoppelt sich mit jeder Teilung.
Die magische Teilungszahl 27
Nach wie vielen Teilungen beträgt die Kantenlänge der Würfel 10-8 cm? Man kann es
leicht ausrechnen:
10-8 = (½)n oder 2n = 108
n = 8/log 2 = 26,58
Bei etwa 27 Teilungen eines Würfels mit der Kantenlänge 1 cm sind wir also im
atomaren Bereich angelangt. Die Zahl der Würfel beträgt 2,4 · 1024, liegt also in der
Nähe der Loschmidtschen Zahl.
Die Oberfläche aller bei 27 Teilungen entstandenen Würfel ist etwa
F27 = 6 · 108,13 cm2 = 806 · 106 cm2 = 80600 · 104 cm2 = 80600 m2 = 8,06 ha
Das ist eine Fläche von etwa 8 Hektar!
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