Hier folgt ein praktisches Anwendungsbeispiel für eine kinetische Untersuchung.

Problem: Dioxine reichern sich im Körper an, weil die Ausscheidung langsamer vonstatten geht als die Aufnahme. Wie hoch die Anreicherung ist, hängt von der Aufnahme und von der Halbwertszeit für die Ausscheidung ab.
Die tolerierbare Tagesdosis (der ADI-Wert) für den Menschen liegt bei 1 pg TE/kg Lebensgewicht (LG) (-> Webseite). (TE bedeutet Toxizitätsäquivalent) Gleichzeitig werden Dioxine ausgeschieden; die Halbwertszeit t_½ dafür beträgt z. B. 7 Jahre.

Wie groß ist die Sättigungskonzentration?

Die Aufnahme ist eine Reaktion 0. Ordnung, da sie mit konstanter Geschwindigkeit erfolgt. Die Ausscheidung ist dagegen eine Reaktion 1. Ordnung. Damit ist die gesamte Geschwindigkeit des Umsatzes von Dioxinen

Im Sättigungszustand halten sich Aufnahme und Ausscheidung die Waage. Im Gleichgewichtszustand gilt dc/dt = 0. Die Sättigungskonzentration ist dann:

Dabei sind

k₁ = ADI-Wert

k₂ = ln 2 / t_½

Das Konzentrations/Zeit-Gesetz ist

oder

Die folgende Graphik zeigt das Konzentrations/Zeit-Gesetz für verschiedene ADI und Halbwertszeiten.

Wichtig: Die Konstanten k₁ und k₂ müssen auf die gleiche Zeitdimension bezogen werden. Für den konkreten Fall gilt

Aufnahme:	ADI	Dimension: pg TE/Tag und kg LG
Ausscheidung:	t½	Dimension: Jahre

k₁ muss auf Jahre umgerechnet werden.

k₁ = ADI-Wert · 365 pg TE/kg LG und Jahr

k₂ = ln 2 / t_½ Jahr^-1

Mit der c/t-Funktion erhält man die Sättigungskonzentration

Die Beziehung gestattet, rasch zu überschlagen, was es bedeutet, wenn der ADI erhöht wird und/oder die Halbwertszeit doch größer ist als vermutet.

Unter den Bedingungen

ADI-Wert = 1 pg TE/kg LG und Jahr

t_½ = 7 Jahre

findet man den bekannten Literaturwert von ~ 3000 pg TE/kg LG:

c_sätt = 3687 pg TE/kg LG

Diskutiert wird die Erhöhung des ADI auf 10 pg TE/Tag und kg LG. Kalkuliert man eine möglicherweise größere Halbwertszeit von 10 Jahren mit ein, so wird

Weitere interessante Fragestellungen
Zu welchem Zeitpunkt (t_f) ist die Sättigungskonzentration bis auf 90 oder 99 % erreicht?

Man definiert einen Faktor

f = c/c_sätt

Zur Berechnung von t_f wird das Konzentrations/Zeit-Gesetz umgestellt:

Die Zeit t_f hängt also nicht vom ADI-Wert, sondern nur von der Halbwertszeit t_½ ab:

Sie ist zur Halbwertszeit direkt proportional

t_f = k_f · t_½

wobei die Geschwindigkeitskonstante ist

Die Werte der Konstanten für verschiedene Sättigungswerte sind
(mit ln 2 = 0,693; ln 10 = 2,303; ln 100 = 2 · ln 10):

Bei 90 % Sättigung (f = 0,90):

k₉₀ = 1,443 · ln 10 = 3,323

Bei 99 % Sättigung (f = 0,99):

k₉₉ = 1,443 · ln 100 = 6,646

Somit gilt

90 % Sättigung: t₉₀ = 3,323 · t_½ Jahre

99 % Sättigung: t₉₉ = 6,646 · t_½ Jahre

Diese Beziehung gestattet bei Variation der Halbwertszeit der Dioxine im Körper die Abschätzung der notwendigen Zeit zur Erreichung der entsprechenden Sättigungswerte.

-	Konkretes Beispiel: t½ = 7 Jahre
	t90 = 3,323 · 5 = 23,3 Jahre t99 = 6,646 · 5 = 46,5 Jahre
-	Konkretes Beispiel: t½ = 10 Jahre
	t90 = 3,323 · 10 = 33,2 Jahre t99 = 6,646 · 10 = 66,4 Jahre

Die Beziehung t_f = f(t_½) gestattet auch, den Zeitraum anzugeben, in dem eine einmalig aufgenommene Dosis an Dioxin bis auf 1 Promille Rest ausgeschieden wird.

Hierzu wird t_f (99,9 %) berechnet:

99,9 % Sättigung: t_99,9 = 3 · t₉₀ = 9,969 · t_½ » 10 · t_½

Dies ist die rechnerische Grundlage für die Faustregel, dass ein Schadstoff erst nach 10 Halbwertszeiten (bzw. Reinigungsschritten etc.) aus dem Medium entfernt wird (-> Webseite).

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